Transformationen
Die folgende Zusammenstellung zeigt, wie Transformationen von Funktionen durch Rechenoperationen bewirkt werden.
| Transformation | Rechenoperation |
|---|---|
| Verschiebung nach links ($c \gt 0$), bzw. rechts ($c \lt 0$) | $f(x+c)$ |
| Verschiebung nach oben ($d \gt 0$), bzw. unten ($d \lt 0$) | $f(x)+d$ |
| Waagrechte Streckung/Stauchung mit Streckfaktor $\frac{1}{k}$ |
$f(k\cdot x)$ |
| Senkrechte Streckung/Stauchung mit Streckfaktor $k$ |
$k\cdot f(x)$ |
| Spiegelung an der $y$-Achse | $f(-x)$ |
| Spiegelung an der $x$-Achse | $-f(x)$ |
Beispiele
- $f(x)=x^2$ wird erst um 1 nach oben verschoben und dann mit dem Streckfaktor 3 senkrecht gestreckt.
Verschiebung: $f_1(x)= x^2+1$
Streckung: $f_2(x)=3(x^2+1)=3x^2+3$ - $f(x)=x^2$ wird erst mit dem Streckfaktor 3 senkrecht gestreckt und dann um 1 nach oben verschoben.
Streckung: $f_1(x)=3x^2$
Verschiebung: $f_2(x)=3x^2+1$ - $f(x)=e^x$ wird erst um 2 nach rechts verschoben und dann an der $y$-Achse gespiegelt.
Verschiebung: $f_1(x)=e^{x-2}$
Spiegelung: $f_2(x)=e^{-x-2}$ - $f(x)=e^x$ wird erst an der $y$-Achse gespiegelt und dann um 2 nach rechts verschoben.
Spiegelung: $f_1(x)=e^{-x}$
Verschiebung: $f_2(x)=e^{-(x-2)}=e^{-x+2}$ - $g(x)=-2\sin(\frac{\pi}{2}(x+1))-4$ entsteht aus $f(x)=\sin(x)$ durch folgende Transformationen:
Waagrechte Streckung von $f$ mit dem Streckfaktor $\frac{2}{\pi}$:
$g_1(x)=\sin(\frac{\pi}{2}x)$
Senkrechte Streckung von $g_1$ mit dem Streckfaktor 2:
$g_2(x)=2\sin(\frac{\pi}{2}x)$
Spiegelung von $g_2$ an der x-Achse:
$g_3(x)=-2\sin(\frac{\pi}{2}x)$
Verschiebung von $g_3$ um 1 nach links:
$g_4(x)=-2\sin(\frac{\pi}{2}(x+1))$
Verschiebung von $g_4$ um 4 nach unten:
$g(x)=-2\sin(\frac{\pi}{2}(x+1))-4$ - Wir untersuchen das Schaubild von $f(x)=a\cdot \sin(b(x-c))+d$. Dieses entsteht,
indem die Sinusfunktion zuerst in $y$-Richtung mit dem Streckfaktor $a$ gestreckt wird und in $x$-Richtung
mit dem Streckfaktor $\frac{1}{b}$. Die so gestreckte Funktion wird dann um den Wert $c$ nach
rechts ($c\gt 0$) bzw. links ($c\lt 0$) verschoben, und um den Wert $d$ nach oben ($d\gt 0$) bzw. unten ($d\lt 0$).
Die Funktion $f$ hat die Amplitude $a$, die der größten Auslenkung nach oben oder unten von der Mittellinie entspricht, und die Periodenlänge $\frac{2\pi}{b}$.
Sie verläuft innerhalb einer Periode durch folgende Extrem- und Wendepunkte:
$W_1(c|d)$
$E_1(c+\frac{\pi}{2b}|d+a)$: Hochpunkt für $a\gt 0$, Tiefpunkt für $a\lt 0$
$W_2(c+\frac{\pi}{b}|d)$
$E_2(c+\frac{3\pi}{2b}|d-a)$: Tiefpunkt für $a>0$, Hochpunkt für $a\lt 0$
$W_3(c+\frac{2\pi}{b}|d)$