Lagebeziehungen
Die Untersuchung der Lage von Punkten, Geraden und Ebenen zueinander ergibt, ob diese Schnittmengen haben, und gegebenfalls die Berechnung solcher Schnittpunkte oder Schnittgeraden.
Punkt - Gerade
Die Koordinaten des Punkts $A(a_1|a_2|a_3)$ werden in der Geradengleichung $g: \vec{x}=\vec{p}+t\cdot \vec{r}$ für $\vec{x}$ eingesetzt, das ergibt die drei Gleichungen $$ \begin{array}{r} &a_1=p_1+r_1 t\\ &a_2=p_2+r_2 t\\ &a_3=p_3+r_3 t\\ \end{array} $$ Hat das Gleichungssystem eine Lösung für $t$, dann liegt $A$ auf $g$, sonst nicht.
Punkt - Ebene
Die Koordinaten des Punkts $P$ werden in die Koordinatengleichung der Ebene $E: ax_1+bx_2+cx_3=d$ eingesetzt. $P$ liegt auf $E$, falls die Gleichung aufgeht, ansonsten nicht.
Gerade - Gerade
Man setzt die beiden Geradengleichungen $\vec{x}=\vec{a}+s\vec{u}$ und $\vec{x}=\vec{b}+t\vec{v}$ gleich:
$\vec{a}+s\vec{u}=\vec{b}+t\vec{v}$.
Daraus ergibt sich für die Unbekannten $s$ und $t$ das Gleichungssystem
$$ \begin{array}{r}
&u_1s-v_1t=b_1-a_1\\
&u_2s-v_2t=b_2-a_2\\
&u_3s-v_3t=b_3-a_3\\
\end{array}
$$
- Wenn das LGS genau eine Lösung für s und t hat, dann haben die Geraden einen Schnittpunkt. Dieser ergibt sich durch Einsetzen von $s$ oder $t$ in die zugehörige Geradengleichung.
- Hat das LGS unendlich viele Lösungen, dann sind die Geraden identisch.
- Wenn das LGS keine Lösung hat, überprüft man die beiden Richtungsvektoren der Geraden: sind sie Vielfache voneinander, dann sind die Geraden parallel, ansonsten sind sie windschief.
Gerade - Ebene
Aus der Geradengleichung $\vec{x} =\vec{p} + t\cdot \vec{r}$ erhält man $$ \begin{array}{r} &x_1 = p_1 +r_1 t\\ &x_2 = p_2 +r_2 t\\ &x_3 = p_3 +r_3 t\\ \end{array} $$ Diese Koordinaten werden in die Koordinatengleichung der Ebene eingesetzt, wobei 3 Fälle auftreten können:
- Die Gleichung lässt sich nach $t$ auflösen. Das ergibt den Schnittpunkt durch Einsetzen von $t$ in die Geradengleichung.
- Die Gleichung lässt sich nicht auflösen weil $t$ wegfällt, und sie ergibt eine wahre Aussage. Dann liegt die Gerade in der Ebene.
- Die Gleichung lässt sich nicht nach $t$ auflösen und ergibt eine falsche Aussage. Dann sind die Gerade und die Ebene parallel zueinander.
Ebene - Ebene
Die beiden Koordinatengleichungen bilden ein Gleichungssystem aus zwei Gleichungen: $$ \begin{array}{r} &a_1x_1+b_1x_2+c_1x_3=d_1\\ &a_2x_1+b_2x_2+c_2x_3=d_2\\ \end{array} $$
- Wenn das LGS keine Lösung hat sind die Ebenen parallel.
Das erkennt man daran, dass sich beim Additionsverfahren direkt eine falsche Aussage ergibt. - Wenn das LGS unendlich viele Lösungen hat und die Lösungsmenge ist 2-dimensional (d.h., es werden zwei Parameter zur Beschreibung der Lösungen benötigt), dann sind die Ebenen identisch. Das erkennt man daran, dass sich beim Additionsverfahren direkt eine wahre Aussage ergibt.
- Wenn das LGS unendlich viele Lösungen hat und die Lösungsmenge ist 1-dimensional (d.h., es wird ein Parameter zur Beschreibung der Lösungen benötigt), dann gibt es eine Schnittgerade. Die Gleichung der Schnittgeraden ergibt sich aus der vektoriellen Darstellung der Lösung.
Beispiele
- Punkt - Gerade
Gegeben ist die Gerade $g: \vec{x}=\left(\begin{array}{r}1\\2\\3\\\end{array}\right)+t \left(\begin{array}{r}2\\-1\\6\\\end{array}\right)$
Wir prüfen, ob die Punkte $P_1(3|1|9)$ und $P_2(0|0|3)$ auf $g$ liegen.
Einsetzen von $P_1$ für $\vec{x}$ ergibt bei allen drei Gleichungen $t=1$, d.h. $P_1$ liegt auf $g$.
Setzt man $P_2$ ein, ergibt sich $t=-\frac{1}{2}$, $t=2$ und $t=0$. Das Gleichungssystem hat also keine Lösung für $t$ und $P_2$ liegt somit nicht auf $g$. - Punkt - Ebene
Gegeben ist die Ebene $E: x_1-6x_2+2x_3=7$. Wir untersuchen, ob $P_1(3|1|5)$ und $P_2(0|0|0)$ auf $E$ liegen.
$P_1(3|1|5)$ liegt auf $E$, da $3-6\cdot 1+2\cdot 5=7$.
$P_2(0|0|0)$ liegt nicht auf $E$, da $0-6\cdot 0+2\cdot 0\ne 7$. - Gerade - Gerade
Gegeben sind fünf Geraden:
$g_1: \vec{x}=\left(\begin{array}{r}1\\-1\\2\\\end{array}\right)+s \left(\begin{array}{r}4\\-2\\6\\\end{array}\right)$, $g_2: \vec{x}=\left(\begin{array}{r}5\\-3\\8\\\end{array}\right)+t \left(\begin{array}{r}-2\\1\\-3\\\end{array}\right)$,
$g_3: \vec{x}= \left(\begin{array}{r}-3\\1\\-4\\\end{array}\right)+u \left(\begin{array}{r}5\\2\\-3\\\end{array}\right)$, $g_4: \vec{x}=\left(\begin{array}{r}5\\-3\\1\\\end{array}\right)+v \left(\begin{array}{r}1\\1\\1\\\end{array}\right)$,
$g_5: \vec{x}=\left(\begin{array}{r}0\\1\\7\\\end{array}\right)+w \left(\begin{array}{r}2\\-1\\3\\\end{array}\right)$
Lage von $g_1$ und $g_2$:
Gleichsetzen der Geraden ergibt $$ \begin{array}{rrrrr} &4s&+&2t&=&4\\ &-2s&-&t&=&-2\\ &6s&+&3t&=&6\\ \end{array} $$ Die Stufenform dieses LGS enthält nur noch eine Gleichung, es hat also unendlich viele Lösungen und somit sind $g_1$ und $g_2$ identisch.
Lage von $g_1$ und $g_3$: $$ \begin{array}{rrrrr} &4s&-&5u&=&-4\\ &-2s&-&2u&=&2\\ &6s&+&3u&=&-6\\ \end{array} $$ Dieses LGS hat die Lösung $s=-1$ und $u=0$. Durch Einsetzen in eine der Geradengleichungen ergibt sich damit der Schnittpunkt $S(-3|1|-4)$.
Lage von $g_1$ und $g_4$: $$ \begin{array}{rrrrr} &4s&-&v&=&4\\ &-2s&-&v&=&-2\\ &6s&-&v&=&-1\\ \end{array} $$ Dieses LGS ergibt eine falsche Aussage, es hat also keine Lösung. Da die Richtungsvektoren keine Vielfache voneinander sind, sind $g_1$ und $g_4$ windschief.
Lage von $g_1$ und $g_5$: $$ \begin{array}{rrrrr} &4s&-&2w&=&-1\\ &-2s&+&w&=&2\\ &6s&-&3w&=&5\\ \end{array} $$ Das LGS hat keine Lösung. Da die Richtungsvektoren Vielfache voneinander sind (mit dem Faktor 2), sind $g_1$ und $g_5$ parallel. - Gerade - Ebene
Gegeben sind die Ebene $E: x_1-3x_2+x_3+2=0$ und die drei Geraden
$g_1: \vec{x}=\left(\begin{array}{r}6\\2\\-1\\\end{array}\right)+s \left(\begin{array}{r}0\\1\\3\\\end{array}\right)$, $g_2: \vec{x}=\left(\begin{array}{r}2\\0\\6\\\end{array}\right)+t \left(\begin{array}{r}-1\\5\\6\\\end{array}\right)$,
$g_3: \vec{x}=\left(\begin{array}{r}2\\1\\-1\\\end{array}\right)+u \left(\begin{array}{r}1\\0\\-1\\\end{array}\right)$
Wir bestimmen die Lage von jeder Gerade zu der Ebene.
Lage von $g_1$ zu $E$:
Aus der Geradengleichung erhält man $x_1=6$, $x_2=2+s$ und $x_3=-1+3s$.
Eingesetzt in $E$ folgt $6-3(2+s)-1+3s+2=0$. Das ergibt die falsche Aussage $1=0$, $g_1$ ist also parallel zu $E$.
Lage von $g_2$ zu $E$:
Aus der Geradengleichung erhalten wir $x_1=2-t$, $x_2=5t$ und $x_3=6+6t$.
Einsetzen in $E$ ergibt $2-t-3\cdot 5t+6+6t+2=0$. Daraus folgt $t=1$, womit sich durch Einsetzen in die Geradengleichung der Schnittpunkt $S(1|5|12)$ von $g_2$ und $E$ ergibt.
Lage von $g_3$ zu $E$:
Aus der Geradengleichung entnehmen wir $x_1=2+u$, $x_2=1$ und $x_3=-1-u$.
Durch Einsetzen in $E$ ergibt sich $2+u-3\cdot 1-1-u+2=0$. Das ergibt die wahre Aussage $0=0$, $g_3$ liegt somit in der Ebene $E$. - Ebene - Ebene
Gegeben sind vier Ebenen:
$E_1: x_1-x_2+x_3=1$
$E_2: -2x_1+2x_2-2x_3=-2$
$E_3: 3x_1-3x_2+3x_3=2$
$E_4: 3x_1-x_2+3x_3=7$
Gesucht ist die Lage von $E_1$ zu den anderen drei Ebenen.
Lage von $E_1$ und $E_2$: $$ \begin{array}{rrrrrrr} &x_1&-&x_2&+&x_3&=&1\\ &-2x_1&+&2x_2&-&2x_3&=&-2\\ \end{array} $$ Bei der Lösung des LGS ergibt sich mit dem Additionsverfahren die wahre Aussage $0=0$, d.h. $E_1$ und $E_2$ sind identisch.
Lage von $E_1$ und $E_3$: $$ \begin{array}{rrrrrrr} &x_1&-&x_2&+&x_3&=&1\\ &3x_1&-&3x_2&+&3x_3&=&2\\ \end{array} $$ Beim Additionsverfahren ergibt sich direkt eine falsche Aussage, d.h. $E_1$ und $E_3$ sind parallel.
Lage von $E_1$ und $E_4$: $$ \begin{array}{rrrrrrr} &x_1&-&x_2&+&x_3&=&1\\ &3x_1&-&x_2&+&3x_3&=&7\\ \end{array} $$ Dieses LGS hat die Lösung $x_1=3-t$, $x_2=2$, $x_3=t$. Die vektorielle Schreibweise hierfür liefert die Geradengleichung der Schnittgerade von $E_1$ und $E_4$:
$\vec{x}=\left(\begin{array}{r}3\\2\\0\\\end{array}\right)+t\ \left(\begin{array}{r}-1\\0\\1\\\end{array}\right)$