Abi Know-how Mathematik

Vektoren

Ein Vektor besteht aus Zahlen, die auch Koordinaten des Vektors genannt werden und zwischen zwei Klammern übereinander geschrieben werden. Man kann sich einen Vektor als Pfeil vorstellen, der vom Koordinatenursprung zu dem Punkt mit den gleichen Koordinaten zeigt, deshalb werden als Variablen für Vektoren auch Buchstaben mit darüberstehenden Pfeilen verwendet.

Ortsvektor

Der Ortsvektor eines Punkts $P(p_1|p_2|p_3)$ ist der Vektor zu $P$. Er wird mit $\vec{p}$ oder $\vec{OP}$ bezeichnet und es gilt:

$\vec{p}= \vec{OP}=\left(\begin{array}{r}p_1\\p_2\\p_3\\\end{array}\right)$

Verbindungsvektor

Der Verbindungsvektor vom Punkt $A(a_1|a_2|a_3)$ zum Punkt $B(b_1|b_2|b_3)$ ist der Vektor mit der Länge und Richtung des Pfeils von $A$ nach $B$. Er wird mit $\vec{AB}$ bezeichnet und wie folgt definiert:

$\vec{AB} = \vec{b}-\vec{a}=\left(\begin{array}{r}b_1-a_1\\b_2-a_2\\b_3-a_3\\\end{array}\right)$

Multiplikation von Zahlen mit Vektoren

$t\cdot \left(\begin{array}{r}x_1\\x_2\\x_3\\\end{array}\right)=\left(\begin{array}{r}t\cdot x_1\\t\cdot x_2\\t\cdot x_3\\\end{array}\right)$

Das entspricht anschaulich der Streckung oder Verkürzung eines Vektors mit dem Streckfaktor $t$. Ist $t$ negativ, wird zusätzlich die Richtung des Vektors umgekehrt.

Addition und Subtraktion von Vektoren

$\left(\begin{array}{r}x_1\\x_2\\x_3\\\end{array}\right)\pm \left(\begin{array}{r}y_1\\y_2\\y_3\\\end{array}\right) =\left(\begin{array}{r}x_1\pm y_1\\x_2\pm y_2\\x_3 \pm y_3\\\end{array}\right)$

Die Addition entspricht anschaulich dem Anhängen von $\vec{y}$ an $\vec{x}$, der Ergebnisvektor zeigt dann vom Anfangspunkt des Vektors $\vec{x}$ im Koordinatenursprung zum Endpunkt des angehängten Vektors. Das Ergebnis der Subtraktion ist der Verbindungsvektor vom Punkt mit den Koordinaten von $\vec{y}$ zum Punkt mit den Koordinaten von $\vec{x}$

Linearkombinationen

Ein Vektor $\vec{u}$ ist eine Linearkombination der Vektoren $\vec{v}$ und $\vec{w}$, wenn es Zahlen $a$ und $b$ gibt, so dass gilt:

$\vec{u} = a\cdot \vec{v} + b\cdot \vec{w}$

Entsprechend gibt es auch Linearkombinationen aus mehr als zwei Vektoren.
Linearkombinationen sind nützlich zur Berechnung gesuchter Punkte.

Bestimmung des Mittelpunkts $M$ zweier Punkte $A$ und $B$:
$\vec{AM}=\vec{MB} \Leftrightarrow \vec{m}-\vec{a}=\vec{b}-\vec{m}$. Durch Umstellen folgt für $M$:

$\vec{m}=\frac 12 \vec{a} + \frac 12 \vec{b}=\frac 12( \vec{a} + \vec{b})$
Bestimmung des Punkts $D$ in einem Parallelogramm aus den Punkten $A$, $B$ und $C$:
$\vec{AD}=\vec{BC} \Leftrightarrow \vec{d}-\vec{a}=\vec{c}-\vec{b}$. Durch Umstellen folgt für $D$:

$\vec{d}= \vec{a} - \vec{b}+\vec{c} $

Beispiele

Für den Ortsvektor des Punkts $X(1|2|3)$ schreibt man
$\vec{x}=\left(\begin{array}{r}1\\2\\3\\\end{array}\right)$
Für die Punkte $A(1|-3|0)$ und $B(2|-1|-4)$ ergeben sich die Verbindungsvektoren
$\vec{AB}=\left(\begin{array}{r}1\\2\\-4\\\end{array}\right)$; $\vec{BA}=\left(\begin{array}{r}-1\\-2\\4\\\end{array}\right)$;
Wir bestimmen den Mittelpunkt $M$ von $A(-2|2|1)$ und $B(5|4|-2)$:
$\vec{m}=\frac 12 \left(\left(\begin{array}{r}-2\\2\\1\\\end{array}\right)+\left(\begin{array}{r}5\\4\\-2\\\end{array}\right)\right)$
$\Rightarrow M(1,5|3|-0,5)$
Wir bestimmen den Punkt $D$, durch den die Punkte $A(2|3|4)$, $B(0|1|-1)$, $C(4|-3|7)$ zu einem Parallelogramm ergänzt werden.
$\vec{d}=\vec{a}-\vec{b}+\vec{c}=\left(\begin{array}{r}6\\-1\\12\\\end{array}\right)$
$\Rightarrow D(6|-1|12)$