Gleichungen
Gleichungen werden gelöst, indem man sie auf einen der folgenden Grundtypen zurückführt, und dann wie angegeben umformt. Das ergibt entweder die Lösung oder eine einfachere Gleichung.
| Grundtyp | Umformung |
|---|---|
| Lineare Gleichung $ax+b=0$ |
Umstellen $a\ne 0:$ $x=-\frac ba$ $a=0; b=0$: unendlich viele Lösungen $a=0; b\ne0$: Keine Lösung |
| Bruchgleichung $\frac{f(x)}{g(x)}=0$ |
Mit Nenner multiplizieren $f(x)=0$ |
| Quadratische Gleichung $a f (x )^2+b f ( x )+ c=0$ |
Lösungsformel $f(x)=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$ |
| Betragsgleichung $|f(x)|=a$ |
Fallunterscheidung $a\ge 0$: $f(x)=a; f(x)=-a$ $a\lt 0$: keine Lösung |
| Potenzgleichung $f(x)^n=a$ |
Wurzel ziehen n gerade; $a\ge 0$: $f(x)=\pm\sqrt[n]{a}$ n gerade; $a\lt 0$: keine Lösung n ungerade; $a\ge 0$: $f(x)=\sqrt[n]{a}$ n ungerade; $a\lt 0$: $f(x)=-\sqrt[n]{|a|}$ |
| Wurzelgleichung $\sqrt[n]{f(x)}=a$ |
Potenzieren $a\ge 0$: $f(x)=a^n$ $a\lt 0$: keine Lösung |
| Exponentialgleichung $a^{f(x)}=b$ |
Logarithmieren $b\gt 0$: $f(x)=\log_a{b}$ $b\le 0$: keine Lösung |
| Logarithmusgleichung $\log_a f ( x)=b$ |
Exponenzieren $f(x)=a^b$ |
| Sinusgleichung $\sin{f(x)}=a$ |
Anwendung von arcsin $-1\le a\le 1$: $f(x)=\arcsin(a)+ 2 k\pi$ $f(x)=\pi −\arcsin (a)+2k\pi$ mit $k \in \mathbb{Z}$ $a\lt -1$ oder $a \gt 1$: keine Lösung |
| Kosinusgleichung $\cos{f(x)}=a$ |
Anwendung von arccos $-1\le a\le 1$: $f(x)=\arccos(a)+ 2kπ$ $f(x)=2\pi −\arccos (a)+2 k\pi$ mit $k \in \mathbb{Z}$ $a\lt -1$ oder $a \gt 1$: keine Lösung |
| Nullproduktgleichung $f(x)\cdot g(x)=0$ |
Satz vom Nullprodukt $f(x)=0;\; g(x)=0$ |
| Faktorisierbare Gleichung $f(x)g(x)+f(x)h(x)=0$ |
Ausklammern $f(x)(g(x)+h(x))=0$ |
Beispiele
- Wir bestimmen die Anzahl der Lösungen in Abhängigkeit von a: $-2(x-4)=ax+8$
Umformung ergibt $(a+2)x=0$. Für $a=-2$ hat die Gleichungen unendlich viele Lösungen und für $a\ne -2$ genau eine Lösung $x=0$ - Wir bestimmen die Anzahl der Lösungen in Abhängigkeit von a: $ax=x+3$
Umformung ergibt $(a-1)x=3$. Diese Gleichung hat für $a=1$ keine Lösung und für $a\ne 1$ genau eine Lösung $x=\frac{3}{a-1} $ - $|7+2x|=7$
Aus $7+2x=7$ folgt $x_1=0$ und aus $7+2x=-7$ folgt $x_2=-7 $.
$L=\{-7;0\}$ - $2x-5=\frac{1}{x-2}$
Brüche zusammenfassen ergibt die Bruchgleichung
$\frac{(2x-5)(x-2)-1}{x-2}=0$.
Multiplikation mit $x-2$ ergibt $(2x-5)(x-2)-1=0$ bzw. $2x^2-9x+9=0$. Mit der Lösungsformel für quadratische Gleichungen erhalten wir
$L=\{\frac32;3\}$ - $1-\frac{1}{x}=\frac{2}{x^2}$
Brüche zusammenfassen ergibt die Bruchgleichung
$\frac{x^2-x-2}{x^2}=0$.
Multiplikation mit $x^2$ führt nun auf die quadratische Gleichung
$x^2-x-2=0$.
Die Lösungsformel liefert $x_1=-1$ und $x_2=2$.
$L=\{-1;2\}$ - $(2x-5)(x^2+5x+7)=0$
Der Satz vom Nullprodukt ergibt
$2x-5=0$ und $x^2+5x+7=0$.
Die erste Gleichung hat die Lösung $x=\frac{5}{2}$, die zweite Gleichung ist eine quadratische Gleichung ohne Lösung, da sich in der Lösungsformel unter der Wurzel ein negativer Wert ergibt.
$L=\{\frac{5}{2}\}$. - $2x^3+9x^2+10x=0$
Durch Faktorisieren (Ausklammern) ergibt sich
$x\cdot(2x^2+9x+10)=0$
Mit dem Satz vom Nullprodukt folgt
$x=0$ und $2x^2+9x+10=0$.
Die quadratische Gleichung ergibt $x_1=-\frac{5}{2}$ und $x_2=-2$.
$L=\{-\frac{5}{2};-2;0\}$ - $-x^4-6x^2+27=0$
Es liegt eine quadratische Gleichung mit $f(x)=x^2$ vor, die Lösungsformel führt also zu
$x^2=\frac{6\pm\sqrt{144}}{-2}$, bzw. $x^2=-9$ und $x^2=3$.
Die erste Potenzgleichung hat keine Lösung, die zweite ergibt durch Wurzelziehen zwei Lösungen.
$L=\{-\sqrt{3};\sqrt{3}\}$ - $x^4=7$
Die Potenzgleichung hat eine gerade Hochzahl und ein positives Ergebnis, es gibt somit zwei Lösungen.
$L=\{-\sqrt[4] 7;\sqrt[4] 7\}$ - $x^4=-7$
Eine Potenzgleichung mit gerader Hochzahl und negativem Ergebnis hat keine Lösung.
$L=\{\}$ - $x^3=\frac{8}{27}$
Die Potenzgleichung mit ungerader Hochzahl und positivem Ergebnis hat eine Lösung $x=\sqrt[3]{\frac{8}{27}}=\frac{2}{3}$.
$L=\{\frac{2}{3}\}$ - $x^5=-10$
Die Potenzgleichung mit ungerader Hochzahl und negativem Ergebnis hat die Lösung $x=-\sqrt[5]{|-10|}=-\sqrt[5]{10}$.
$L=\{-\sqrt[5]{10}\}$ - $\sqrt{(1+x)^2+(1-x)^2}=2$
Quadrieren und vereinfachen ergibt
$L=\{-1;1\}$ - $1-(\frac56)^x=0,9$
Umstellen ergibt $(\frac56)^x=0,1 \Leftrightarrow x=\log_{\frac56}(0,1)\approx 12,629$.
$L=\{\log_{\frac56}(0,1)\}$ - $e^{2x-1}-5=0$
Die Gleichung ist äquivalent zur Exponentialgleichung $e^{2x-1}=5$ mit $f(x)=2x-1$. Exponenziert ergibt das $2x-1=\ln 5 $.
$L=\{\frac{1}{2}(1+\ln 5)\}$ - $6 e^{2x}-e^x -1=0$
Es liegt eine quadratische Gleichung mit $f(x)=e^x$ vor, die Lösungsformel ergibt
$e^x=\frac{1\pm \sqrt{25}}{12}$, bzw. $e^x=\frac{1}{2}$ und $e^x=-\frac{1}{3}$.
Die erste Exponentialgleichung hat die Lösung $x=\ln{\frac{1}{2}}$, die zweite hat keine Lösung.
$L=\{\ln{\frac{1}{2}}\}$ - $5^x+7\cdot 5^{-x}=8$
Wir multiplizieren mit $5^x$, das führt auf die quadratische Gleichung
$5^{2x}-8\cdot 5^x+7=0$ mit $f(x)=5^x$.
Mit der Lösungsformel gilt
$5^x=\frac{8\pm \sqrt{36}}{2}$, bzw. $5^x=7$ und $5^x=1$.
Aus den Exponentialgleichungen ergeben sich zwei Lösungen.
$L=\{0;\log_5 7\}$ - $\sin(3x)=-1$ im Bereich $0\le x\le\pi$
Mit $\arcsin(-1)=-\frac{\pi}{2}$ folgt
$3x=-\frac{\pi}{2}+2k\pi$ und $3x=\frac{3\pi}{2}+2k\pi$ bzw.
$x=-\frac{\pi}{6}+\frac23 \pi k$ und $x=\frac{\pi}{2}+\frac23 \pi k$. Daraus erhalten wir eine Lösung im angegebenen Bereich:
$L=\{\frac12 \pi\}$ - $\cos(2x)=-0,8$ im Bereich $0\le x\le 2\pi$
Mit $\arccos(-0,8)\approx 2,498$ folgt
$2x\approx 2,498+2k\pi$ und $2x\approx 3,785+2k\pi$. bwz.
$x\approx 1,249+k\pi$ und $x\approx1,893+k\pi$ Daraus erhalten wir im angegebenen Bereich 4 Näherungslösungen:
$L=\{1,249;1,893;4,391;5,035\}$ - $(\cos(x))^2-4\cdot \cos(x)+4=0$
Die quadratische Gleichung mit $f(x)=\cos x$ führt zu $\cos x=2$. Diese Gleichung hat keine Lösung, weil das Ergebnis nicht zwischen -1 und 1 liegt.
$L=\{\}$.