Hypothesen Tests
Beim Testen einer Hypothese über die Trefferwahrscheinlichkeit einer $B_{n;p}$-verteilten Zufallsvariablen
$X$ lehnt man diese Hypothese ab, falls dabei zu wenig (linksseitiger Test)
oder zu viele Treffer (rechtsseitiger Test) auftreten.
Die Hypothese, welche getestet wird, nennt man Nullhypothese $H_0$, die Gegenannahme heißt
Alternativhypothese $H_1$.
Unter dem Signifikanzniveau $\alpha$ versteht man eine obere Grenze für die Wahrscheinlichkeit, $H_0$ fälschlicherweise abzulehnen.
Aus dem Signifikanzniveau lässt sich der Ablehnungsbereich berechnen. Durch diesen ist dann die Entscheidungsregel für den Test festgelegt, bei welchen Trefferanzahlen $H_0$ abgelehnt oder angenommen wird.
Unter der Irrtumswahrscheinlichkeit versteht man die Wahrscheinlichkeit für den berechneten Ablehnungsbereich. Sie gibt an, mit welcher Wahrscheinlichkeit man $H_0$ fälschlicherweise ablehnt und hat höchstens den Wert von $\alpha$.
Linksseitiger Test
- Es wird die Nullhypothese getestet, ob die Trefferwahrscheinlichkeit $p$ mindestens
einen bestimmten Wert $p_0$ hat.
$H_0: p\ge p_0$; $H_1: p\lt p_0$ - $H_0$ wird abgelehnt, wenn zu wenige Treffer auftreten.
Für die $B_{n;p}$-verteilte Zufallsvariable $X$ und das Signifikanzniveau $\alpha$ bestimmt man deshalb die größte Zahl $k$, für die gilt:
$P(X\le k)\le \alpha \Leftrightarrow F_{n;p}(k) \le \alpha$ - Der Ablehnungsbereich $A$ ist nun durch $k$ festgelegt:
$A=\{0,...,k\}$ - Für die Irrtumswahrscheinlichkeit gilt:
$P(X\le k)=F_{n;p}(k))$
Rechtsseitiger Test
- Es wird die Nullhypothese getestet, ob die Trefferwahrscheinlichkeit $p$ höchstens
einen bestimmten Wert $p_0$ hat.
$H_0: p\le p_0$; $H_1: p\gt p_0$ - $H_0$ wird abgelehnt, wenn zu viele Treffer auftreten.
Für die $B_{n;p}$-verteilte Zufallsvariable $X$ und das Signifikanzniveau $\alpha$ bestimmt man deshalb die kleinste Zahl $k$, für die gilt:
$P(X\ge k)\le \alpha \Leftrightarrow 1-F_{n;p}(k-1) \le \alpha$ - Der Ablehnungsbereich $A$ ist nun durch $k$ festgelegt:
$A=\{k,...,n\}$ - Für die Irrtumswahrscheinlichkeit gilt:
$P(X\ge k)=1-F_{n;p}(k-1)$
Beispiele
- Bei einem Würfel soll in einem Test mit 100 Würfen die Hypothese $H_0$ untersucht werden,
dass die Wahrscheinlichkeit eine Sechs zu würfeln mindestens $\frac{1}{6}$ ist.
Die Wahrscheinlichkeit, $H_0$ irrtümlich abzulehnen (Irrtumswahrscheinlichkeit) soll dabei höchstens
$2 \%$ betragen. Gesucht ist eine Entscheidungsregel, für welche Anzahlen von Sechsen $H_0$ abgelehnt,
bzw. angenommen wird.
$H_0$ wird irrtümlich abgelehnt, wenn $H_0$ richtig ist, aber zu wenig Sechsen erscheinen, also die Trefferzahl $X$ in einem Ablehnungsbereich $\{0,...,k\}$ liegt. Es ist also die größte Zahl $k$ gesucht, mit
$P(X\le k)\le 0,02\Leftrightarrow F_{100;\frac{1}{6}}(k)\le 0,02$
Berechnet man mit dem Taschenrechner $F_{100;\frac{1}{6}}(k)$ für verschiedene $k$-Werte, so ergibt sich als größtmöglicher Wert $k=8$. Die Entscheidungsregel für den Test lautet somit, dass $H_0$ abgelehnt wird, wenn die Anzahl der Sechsen im Bereich $\{0,...,8\}$ liegt, und angenommen wird, wenn sie im Bereich $\{9,...,100\}$ liegt.
Für die Irrtumswahrscheinlichkeit erhalten wir noch $P(X\le 8)=F_{100;\frac{1}{6}}(8)\approx 0,95\%$ - Bei einem Würfel soll in einem Test mit 100 Würfen die Hypothese $H_0$ untersucht werden,
dass die Wahrscheinlichkeit eine Sechs zu würfeln höchstens $\frac{1}{6}$ ist.
Die Irrtumswahrscheinlichkeit soll höchstens 2 $\%$ betragen. Gesucht ist die Entscheidungsregel,
für welche Anzahlen von Sechsen $H_0$ abgelehnt, bzw. angenommen wird.
$H_0$ wird irrtümlich abgelehnt, wenn $H_0$ richtig ist, aber zu viel Sechsen erscheinen, also die Trefferzahl $X$ in einem Ablehnungsbereich $\{k,...,100\}$ liegt. Es ist also die kleinste Zahl $k$ gesucht, mit
$P(X\ge k)\le 0,02$
$\Leftrightarrow 1-F_{100;\frac{1}{6}}(k-1)\le 0,02$
$\Leftrightarrow F_{100;\frac{1}{6}}(k-1) \ge 0,98$
Die Berechnung von $F_{100;\frac{1}{6}}(k-1)$ mit dem Taschenrechner für verschiedene $k$-Werte ergibt als kleinstmöglichen Wert $k=26$.
Die Entscheidungsregel für den Test lautet somit, dass $H_0$ abgelehnt wird, wenn die Anzahl der Sechsen im Bereich $\{26,...,100\}$ liegt, und angenommen wird, wenn sie im Bereich $\{0,...,25\}$ liegt.
Für die Irrtumswahrscheinlichkeit ergibt sich damit $P(X\ge 26)=1-F_{100;\frac{1}{6}}(25)\approx 1,19 \%$.