Abi Know-how Mathematik

Symmetrie

Eine Funktion ist symmetrisch zur $y$-Achse, wenn sie folgende Bedingung erfüllt:

$f(-x)=f(x)$

Ganzrationale Funktionen, in denen nur gerade Hochzahlen vorkommen (dazu gehört auch eine Konstante ohne $x$) sind achsensymmetrisch zur $y$-Achse.
Gebrochenrationale Funktionen, in denen entweder nur gerade, oder nur ungerade Hochzahlen vorkommen sind ebenfalls achsensymmetrisch zur $y$-Achse.
Die Kosinusfunktion ist zur $y$-Achse symmetrisch, es gilt $\cos(-x)=\cos(x)$.

Eine Funktion ist symmetrisch zum Ursprung, wenn sie folgende Bedingung erfüllt:

$f(-x)=-f(x)$

Ganzrationale Funktionen in denen nur ungerade Hochzahlen vorkommen, sind punktsymmetrisch zum Ursprung.
Gebrochenrationale Funktionen, die im Zähler nur gerade Hochzahlen haben und im Nenner nur ungerade (oder umgekehrt), sind auch immer punktsymmetrisch zum Ursprung.
Die Sinusfunktion ist zum Ursprung symmetrisch, es gilt $\sin(-x)=-\sin(x)$.

$f(x)=-3x^4-2x^2+\frac{5}{2}$ ist achsensymmetrisch:
$\begin{align} f(-x)&=-3(-x)^4-2(-x)^2+\frac{5}{2}\\ &=-3x^4-2x^2+\frac{5}{2}\\ &=f(x)\\ \end{align} $
$f(x)=\frac{-x}{x^3+2x}$ ist achsensymmetrisch:
$\begin{align} f(-x)&=\frac{-(-x)}{(-x)^3+2(-x)}\\ &=\frac{-(-x)}{-x^3-2x}\\ &=\frac{-(-x)}{-(x^3+2x)}\\ &=\frac{-x}{x^3+2x}\\ &=f(x)\\ \end{align} $
$f(x)=-\frac{1}{2}x^3+5x$ ist punktsymmetrisch:
$\begin{align} f(-x)&=-\frac{1}{2}(-x)^3+5(-x)\\ &=\frac{1}{2}x^3-5x\\ &=-(-\frac{1}{2}x^3+5x)\\ &=-f(x)\\ \end{align} $
$f(x)=\frac{1+x^2}{4x}$ ist punktsymmetrisch:
$\begin{align} f(-x)&=\frac{1+(-x)^2}{4(-x)}\\ &=\frac{1+x^2}{-4x}\\ &=-\frac{1+x^2}{4x}\\ &=-f(x)\\ \end{align} $