Tangenten
Eine Tangente an eine Funktion $f$ ist eine Gerade $t$, welche $f$ in einem Punkt $B(u|f(u))$ auf $f$ berührt. Ihre Geradengleichung $y=mx+b$ erhält man mit der Tangentenformel:
Dabei steht $u$ für die Stelle auf der $x$-Achse, an welcher die Tangente an $f$ angelegt werden soll.
Bestimmung der Tangente durch den Berührpunkt
Man berechnet $f'(u)$ und $f(u)$ mit dem gegebenen Wert für $u$. Die Geradengleichung der Tangente ergibt sich dann durch Einsetzen von $u$, $f'(u)$ und $f(u)$ in die Tangentenformel.
Bestimmung von Tangenten durch einen anderen Punkt
Die Punktkoordinaten $x$ und $y$ werden in die Tangentenformel eingesetzt. Für $f(u)$ und $f'(u)$ schreibt man hier die gegebene Funktion und ihre Ableitung mit $u$ statt $x$. Die Lösungen dieser Gleichung für $u$ ergeben die Berührpunkte. Durch diese können dann mit der Tangentenformel wieder die Tangentengleichungen bestimmt werden.
Bestimmung der Tangente durch die Steigung
Mit der gegebenen Steigung $m$ bestimmt man die Lösungen der Gleichung $f '( x)=m$. Diese ergeben die Berührpunkte, und mit der Tangentenformel die Tangentengleichungen.
Beispiele
- Bestimmung der Tangente an $f(x)=x^2 +1$ im Berührpunkt $B(2|f(2))$.
Mit $f'(x)=2x$ und $u=2$ folgt mit der Tangentenformel:
$\begin{align} y&=f'(2)(x-2)+f(2)\\ &=4(x-2)+5\\ &=4x-3\\ \end{align} $ - Bestimmung aller Tangenten an die Funktion $f(x)=x^2 +1$ durch den Punkt $P(1|1)$.
Mit $f'(x)=2x$ und der Tangentenformel ergibt sich
$1=2u(1-u)+u^2+1$
Diese Gleichung hat die Lösungen $u_1=0$ und $u_2=2$, was die Berührpunkte $B_1(0|1)$ und $B_2(2|5)$ ergibt. Die Tangenten in $B_1$ und $B_2$ haben dann die Gleichungen $y=1$ und $y=4x-3$. - Bestimmung der Tangenten mit der Steigung $m = -6$ an die Funktion $f(x)=x^2 +1$.
Die Gleichung $f'(x)=-6$ hat die Lösung $x=-3$, daraus folgt der Berührpunkt $B(-3|10)$ und die Tangente mit der Gleichung $y=-6x-8$.