Ableitung und Änderungsrate
Die Ableitung einer Funktion $f$ ist eine Funktion $f'$, die man mit den Ableitungsregeln erhält und entspricht der Tangentensteigung von $f$ an der Stelle $x$. Die Ableitung von $f'$ nennt man zweite Ableitung $f''$ und so fort.
Beschreibt $f(t)$ einen physikalischen Prozess mit $t$ als Zeit, dann wird $f'(t)$ auch momentane Änderungsrate oder Änderungsgeschwindigkeit von $f(t)$ bezeichnet. Diese gibt an, um wieviel sich die beschriebene Größe zum Zeitpunkt $t$ pro Zeiteinheit verändert.
Beziehungen zwischen Funktion und Ableitung
| Funktion $f$ | Ableitung $f'$ |
|---|---|
| wachsend | positiv |
| fallend | negativ |
| Hochpunkt (wachsend $\to$ fallend) |
Nullstelle (positiv $\to$ negativ) |
| Tiefpunkt (fallend $\to$ wachsend) |
Nullstelle (negativ $\to$ positiv) |
| Linkskurve | wachsend |
| Rechtskurve | fallend |
| Wendepunkt (Linkskurve $\to$ Rechtskurve) |
Hochpunkt (wachsend $\to$ fallend) |
| Wendepunkt (Rechtskurve $\to$ Linkskurve) |
Tiefpunkt (fallend $\to$ wachsend) |
Regeln zur Berechnung der Ableitung
| $f(x)$ | $f'(x)$ | |
|---|---|---|
| Konstante Funktion | $a$ | $0$ |
| Potenzfunktion | $x^n$ | $n\cdot x^{n-1}$ |
| Exponentialfunktion | $e^x$ | $e^x$ |
| Logarithmusfunktion | $\ln x$ | $\frac{1}{x}$ |
| Sinusfunktion | $\sin x$ | $\cos x$ |
| Kosinusfunktion | $\cos x$ | $-\sin x$ |
| Faktorregel | $k\cdot g(x)$ | $k\cdot g'(x)$ |
| Summenregel | $g(x)+h(x)$ | $g'(x)+h'(x)$ |
| Kettenregel | $g(h(x))$ | $g'(h(x))\cdot h'(x)$ |
| Produktregel | $g(x)\cdot h(x)$ | $g'(x)\cdot h(x)+g(x)\cdot h'(x)$ |
| Quotientenregel | $\frac{g(x)}{h(x)}$ | $\frac{g'(x)\cdot h(x) - g(x)\cdot h'(x)}{h(x)^2}$ |
Beispiele
- $f(x)=7$ \[f'(x)=0\]
- $f(x)=x^8$ \[f'(x)=8x^7\]
- $f(x)=5x^4$ \[f'(x)=20x^3\]
- $f(x)=4x^3-3x^2+x-1$ \[f'(x)=12x^2-6x+1\]
- $f(x)=-\frac{2}{5x^4}$
Umschreiben ergibt $f(x)=-\frac{2}{5}x^{-4}$ und damit \[f'(x)=-\frac{2}{5}\cdot(-4)\cdot x^{-5}=\frac{8}{5x^5}\] - $f(x)=3\sqrt[3]{x^5}$
Wir schreiben die Funktion als Potenz mit $f(x)=3x^{\frac{5}{3}}$.
Damit ergibt sich \[f'(x)=3\cdot \frac{5}{3}\cdot x^{\frac{2}{3}}=5\sqrt[3]{x^2}\] - $f(x)=(3x^2-5x)^{10}$
Es gilt $f(x)=g(h(x))$
mit $g(x)=x^{10}$ und $h(x)=3x^2-5x$.
Mit $g'(x)=10x^9$ und $h'(x)=6x-5$ erhalten wir \[f'(x)=g'(h(x))\cdot h'(x)=10(3x^2-5x)^9\cdot(6x-5)\] - $f(x)=e^{x^2+4x+2}$
Es gilt $f(x)=g(h(x))$
mit $g(x)=e^x$ und $h(x)=x^2+4x+2$.
Mit $g'(x)=e^x$ und $h'(x)=2x+4$ folgt \[f'(x)=g'(h(x))\cdot h'(x)=e^{x^2+4x+2}\cdot (2x+4)\] - $f(x)=x^2 \sin(x)$
Es gilt $f(x)=g(x)\cdot h(x)$
mit $g(x)=x^2$ und $h(x)=\sin(x)$.
Aus $g'(x)=2x$ und $h'(x)=\cos(x)$ erhalten wir \[f'(x)=g'(x)\cdot h(x)+g(x)\cdot h'(x)=2x\sin(x)+x^2\cos(x)\] - $f(x)=3x^2e^{2-x}$
Es gilt $f(x)=g(x)\cdot h(x)$
mit $g(x)=3x^2$ und $h(x)=e^{2-x}$.
Aus $g'(x)=6x$ und $h'(x)=-e^{2-x}$ (s. Kettenregel) folgt \[f'(x)=g'(x)\cdot h(x)+g(x)\cdot h'(x)=6xe^{2-x}-3x^2e^{2-x}=(6x-3x^2) e^{2-x}\] - $f(x)=(-2x^2+3)e^{-2x+1}$
Es gilt $f(x)=g(x)\cdot h(x)$
mit $g(x)=-2x^2+3$ und $h(x)=e^{-2x+1}$.
Mit $g'(x)=-4x$ und $h'(x)=-2e^{-2x+1}$ (s. Kettenregel) ergibt sich \[f'(x)=g'(x)\cdot h(x)+g(x)\cdot h'(x)=-4xe^{-2x+1}+(-2x^2+3)\cdot (-2 e^{-2x+1})\] Ausklammern von $e^{-2x+1}$ ergibt \[f'(x)=(4x^2-4x-6)e^{-2x+1}\] - $f(x)=e^{x\sin(x)}$
Es gilt $f(x)=g(h(x))$
mit $g(x)=e^x$ und $h(x)=x\sin(x)$.
Aus $g'(x)=e^x$ und $h'(x)=\sin(x)+x\cos(x)$ (s. Produktregel) folgt \[f'(x)=g'(h(x))\cdot h'(x)=e^{x\sin(x)}(\sin(x)+x\cos(x))\] - $f(x)=\ln e^x$
Es gilt $f(x)=g(h(x))$
mit $g(x)=\ln x$ und $h(x)=e^x$.
Mit $g'(x)=\frac{1}{x}$ und $h'(x)=e^x$ erhalten wir \[f'(x)=g'(h(x))\cdot h'(x)=\frac{1}{e^x}\cdot e^x=1\] (was ja wegen $f(x)=\ln e^x = x$ auch kein Wunder ist) - $f(x)=\frac{3x}{(1-5x)^2}$
Es gilt $f(x)=\frac{g(x)}{h(x)}$
mit $g(x)=3x$ und $h(x)=(1-5x)^2$. Aus $g'(x)=3$ und $h'(x)=-10(1-5x)$ folgt mit der Quotientenregel \[\begin{align} f'(x)&=\frac{g'(x)\cdot h(x) - g(x)\cdot h'(x)}{h(x)^2}\\ &=\frac{3(1-5x)^2-3x\cdot(-10)(1-5x)}{(1-5x)^4}\\ &=(1-5x)\cdot\frac{3(1-5x)-3x\cdot(-10)}{(1-5x)^4}\\ &=\frac{3(1-5x)-3x\cdot(-10)}{(1-5x)^3}\\ &=\frac{15x+3}{(1-5x)^3}\\ \end{align} \]