Stammfunktion
Gibt es zu einer Funktion $f$ eine Funktion $F$ mit $F'(x)=f(x)$, dann nennt man $F$ eine Stammfunktion oder unbestimmtes Integral von $f$. Wenn $F(x)$ eine Stammfunktion von $f$ ist, dann ist für jede beliebige Zahl $c$ auch $F(x)+c$ eine Stammfunktion. Deshalb hat eine Funktion unendlich viele Stammfunktionen, die sich alle jedoch nur durch $c$ unterscheiden.
Regeln zur Berechnung der Stammfunktion
| $f(x)$ | $F(x)$ | |
|---|---|---|
| Konstante Funktion | $a$ | $ax+c$ |
| Potenzfunktion | $x^k\, (k\ne -1)$ $x^{-1}=\frac{1}{x}$ |
$ \frac{1}{k+1}\cdot x^{k+1}+c$ $\ln{|x|}+c$ |
| Exponentialfunktion | $e^{x}$ | $e^{x}+c$ |
| Sinusfunktion | $\sin x$ | $-\cos x +c $ |
| Kosinusfunktion | $\cos x$ | $\sin x +c $ |
| Faktorregel | $k\cdot g(x)$ | $k\cdot G(x)+c$ |
| Summenregel | $g(x)+h(x)$ | $G(x)+H(x) +c$ |
| Lineare Substitution | $g(ax+b)$ | $\frac{1}{a}\cdot G(ax+b)+c$ |
Beispiele
- $f(x)=3x^2+8x+1$ \[F(x)=3\cdot \frac{1}{3}x^3+8\cdot \frac{1}{2}x^2+x=x^3+4x^2+x\]
- $f(x)=\frac{4}{5x^3}$
Wir schreiben um zu $f(x)=\frac 45 x^{-3}$, das ergibt \[F(x)=\frac{4}{5}\cdot \frac{1}{-2}x^{-2}=-\frac{2}{5x^2}\] - $f(x)=3\sqrt{x}$
Die Wurzel wird als Potenz geschrieben, $f(x)=3x^{\frac{1}{2}}$ ergibt \[F(x)=3\cdot \frac{1}{\frac{3}{2}}x^{\frac{3}{2}}=2\sqrt{x^3}\] - $f(x)=4\sin(2x)$
Es gilt $f(x)=g(ax+b)$
mit $g(x)=4\sin(x)$ und $ax+b=2x$.
Mit $G(x)=-4\cos (x)$ folgt \[F(x)=\frac{1}{a}\cdot G(ax+b)=\frac{1}{2}\cdot(-4\cos(2x))=-2\cos(2x)\] - $f(x)=28(4x+3)^6$
Es gilt $f(x)=g(ax+b)$
mit $g(x)=28x^6$ und $ax+b=4x+3$.
Mit $G(x)=28\cdot \frac{1}{7}x^7=4x^7$ folgt \[F(x)=\frac{1}{a}\cdot G(ax+b)=\frac{1}{4}\cdot 4(4x+3)^7=(4x+3)^7\] - $f(x)=\frac{5}{3(2x-1)^2}$
Wir schreiben zunächst als Potenz: $f(x)=\frac53 (2x-1)^{-2}$
Hier gilt $f(x)=g(ax+b)$
mit $g(x)=\frac{5}{3}x^{-2}$ und $ax+b=2x-1$.
Mit $G(x)=\frac{5}{3}\cdot \frac{1}{-1}x^{-1}=-\frac{5}{3x}$ folgt \[F(x)=\frac{1}{a}\cdot G(ax+b)=\frac{1}{2}\cdot(-\frac{5}{3(2x-1)})=-\frac{5}{6(2x-1)}\] - $f(x)=\frac{2}{7x}$
Wir schreiben um zu $f(x)=\frac{2}{7}\cdot \frac{1}{x}$, das ergibt \[F(x)=\frac{2}{7}\ln|x|\] - $f(x)=\frac{10}{5x+1}$
Umschreiben ergibt $f(x)=10(5x+1)^{-1}$.
Dabei gilt $f(x)=g(ax+b)$
mit $g(x)=10x^{-1}$ und $ax+b=5x+1$.
Mit $G(x)=10\ln|x|$ erhält man \[F(x)=\frac{1}{a}\cdot G(ax+b)=\frac{1}{5}\cdot 10\ln|5x+1|=2\ln|5x+1|\]. - $f(x)=8 e^{4x-1}$
Es gilt $f(x)=g(ax+b)$
mit $g(x)=8e^x$ und $ax+b=4x-1$.
Aus $G(x)=8e^x$ folgt für die Stammfunktion \[F(x)=\frac{1}{a}\cdot G(ax+b)=\frac{1}{4}\cdot 8e^{4x-1}=2e^{4x-1}\] - $f(x)=e^{\frac{2x}{3}}$
Hier gilt $f(x)=g(ax+b)$
mit $g(x)=e^x$ und $ax+b=\frac{2}{3}x$.
Mit $G(x)=e^x$ erhalten wir \[F(x)=\frac{1}{a}\cdot G(ax+b)=\frac{1}{\frac{2}{3}}\cdot e^{\frac{2x}{3}}=\frac{3}{2}e^{\frac{2x}{3}}\]