Wendepunkte
Wendepunkte einer Funktion sind Punkte, in denen sie ihr Krümmungsverhalten ändert, also vorher linksgekrümmt ist und danach rechtsgekrümmt, oder umgekehrt.
- Zuerst werden die Lösungen der Gleichung $f''(x)=0$ bestimmt.
Überprüfung der Lösungen
1. Methode: Jede Lösung wird in $f'''(x)$ eingesetzt. Ist das Ergebnis positiv, dann ist diese Lösung eine Wendestelle, wobei eine Rechts- in eine Linkskurve übergeht. Bei negativem Ergebnis liegt eine Wendestelle vor, bei der eine Links- in eine Rechtskurve übergeht. Ist das Ergebnis Null, wird die 2. Methode angewendet.
2. Methode: Links und rechts von jeder Lösung werden zwei $x$-Werte gewählt, die näher als daneben liegende Lösungen sind, und in $f''(x)$ eingesetzt. Wechselt das Vorzeichen der Ergebnisse von Minus nach Plus, dann liegt ein Wendepunkt vor, bei dem eine Rechts- in eine Linkskurve wechselt. Bei einem Wechsel von Plus nach Minus ein Wendepunkt, bei dem eine Links- in eine Rechtskurve wechselt. Ergibt sich dasselbe Vorzeichen, so ist an dieser Stelle kein Wendepunkt.
- Zuletzt werden zu allen Wendestellen die $y$-Werte berechnet, indem man die $x$-Werte in $f(x)$ einsetzt.
Beispiele
- $f(x)=x^3-6x^2$
$f'(x)=3x^2-12x$
$f''(x)=6x-12$
$f'''(x)=6$
Aus $6x-12=0$ folgt $x=2$. Mit $f'''(2)=6> 0$ und $f(2)=-16$ ergibt sich der Wendepunkt $W(2∣−16)$, bei dem eine Rechts- in eine Linkskurve wechselt. - $f(x)=(-x-1)e^{-2x}$
$f'(x)=(2x+1)e^{-2x}$
$f''(x)=-4xe^{-2x}$
$f'''(x)=(8x-4)e^{-2x}$
Aus $-4xe^{-2x}=0$ folgt $x=0$. Mit $f'''(0)=-4< 0$ und $f(0)=-1$ ergibt sich der Wendepunkt $W(0∣−1)$, bei dem eine Links- in eine Rechtskurve wechselt. - $f(x)=3x-\frac{2}{x^2}$
$f'(x)=3+\frac{4}{x^3}$
$f''(x)=-\frac{12}{x^4}$
Die Gleichung $-\frac{12}{x^4}=0$ hat keine Lösung, also gibt es keinen Wendepunkt.