Integral
Das Integral $\int_a^b f(x) dx$ einer Funktion $f$ mit den Grenzen a und b wird mit einer Stammfunktion $F$ berechnet, indem man in die Stammfunktion zuerst die obere Grenze b, dann die untere Grenze a einsetzt und die Differenz bildet:
$ \int_a^b f(x) dx=[F(x)]_a^b=F(b)-F(a)$
Mittelwert
Der Mittelwert $M$ der Funktionswerte einer Funktion $f$ im Intervall $[a;b]$ wird mit folgendem Integral berechnet:
$M=\frac{1}{b-a}\cdot\int_a^b f(x)dx$
Flächen
Eine von zwei Funktionen begrenzte Fläche kann mithilfe eines Integrals bestimmt werden.
Liegt die Funktion $f$ im Intervall $[a;b]$ über der Funktion $g$, dann gilt für die Fläche $A$,
welche von $f$ und $g$, sowie den Geraden $x=a$ und $x=b$ eingeschlossene wird:
$A=\int_a^b f(x)-g(x)dx$
Beispiele
- \[\int_1^e \frac 1x dx=[\ln|x|]_1^e=\ln(e)-\ln(1)=1-0=1\]
- Für den Mittelwert M der Funktionswerte von $f(x)=x+1$ im Intervall $[-1;3]$ gilt:
$\begin{align} M&=\frac{1}{3-(-1)}\int_{-1}^3x+1 dx\\ &=\frac 14[\frac 12 x^2+x]_{-1}^3\\ &=2\\ \end{align} $ - Für die Fläche $A$, die von den Funktionen $f(x)=x^2$ und $g(x)=-x$, sowie den Geraden $x=1$ und $x=2$ eingeschlossen
wird erhalten wir
$\begin{align} A&=\int_1^2x^2-(-x)dx\\ &= [\frac13 x^3 + \frac12 x^2]_1^2\\ &=\frac {14}{3}-\frac 56\\ &=\frac {23}{6}\\ \end{align} $