Parabeln

Parabelgleichungen

Normalform

\(y=x^2+bx+c\)
Normalparabel (NP) nach oben: vom Scheitelpunkt 1 nach rechts oder links und 1 nach oben.

Beispiele

\(y = x^2-4x+5\) ist eine nach oben geöffnete NP.
\(y = x^2+\frac12 x -3\) ist eine nach oben geöffnete NP.

Scheitelform

\(y=(x-d)^2+e\)
Scheitelpunkt: \(S\left( d|e \right)\)
Normalparabel (NP) nach oben: vom Scheitelpunkt 1 nach rechts oder links und 1 nach oben.

Beispiele

\(y = (x-2)^2+3\) ist eine nach oben geöffnete NP mit Scheitelpunkt \(S(2|3)\).
\(y = (x+2)^2-3\) ist eine nach oben geöffnete NP mit Scheitelpunkt \(S(-2|-3)\).

Modellform

\(y=ax^2+c\)
Scheitelpunkt: \(S\left( 0|c \right)\)
Breitere oder schmalere Parabeln nach oben oder unten.

a positiv: Parabel nach oben
\(a \lt 1\): vom Scheitelpunkt 1 nach rechts oder links und a nach oben \(\Rightarrow\) breiter als NP
\(a = 1\): vom Scheitelpunkt 1 nach rechts oder links und 1 nach oben \(\Rightarrow\) NP
\(a \gt 1\): vom Scheitelpunkt 1 nach rechts oder links und a nach oben \(\Rightarrow\) schmaler als NP

a negativ: Parabel nach unten
\(a \lt -1\): vom Scheitelpunkt 1 nach rechts oder links und a nach unten \(\Rightarrow\) schmaler als NP
\(a = -1\): vom Scheitelpunkt 1 nach rechts oder links und 1 nach unten \(\Rightarrow\) NP
\(a \gt -1\): vom Scheitelpunkt 1 nach rechts oder links und a nach unten \(\Rightarrow\) breiter als NP

Beispiele

\(y = 0.5x^2-1\): nach oben, breiter als NP mit Scheitelpunkt \(S(0|-1)\)
\(y = x^2 +2 \): nach oben, NP mit Scheitelpunkt \(S(0|2)\)
\(y = 1.5x^2 -3\): nach oben, schmaler als NP mit Scheitelpunkt \(S(0|-3)\)
\(y = -0.5x^2+1\): nach unten, breiter als NP mit Scheitelpunkt \(S(0|1)\)
\(y = -x^2 - 2\): nach unten, NP mit Scheitelpunkt \(S(0|-2)\)
\(y = -1.5x^2 + 3 \): nach unten, schmaler als NP mit Scheitelpunkt \(S(0|3)\)

Parabelgleichungen umwandeln

Scheitelform in Normalform

Man löst die Klammer mit der binomischen Formel auf.

Beispiele

\(y = (x-3)^2+5\)
\(y = x^2-6x+9+5\)
\(y = x^2-6x+14\)
\(y = (x+5)^2-20\)
\(y = x^2+10x+25-20\)
\(y = x^2+10x+5\)

Normalform in Scheitelform

Mit der Quadratischen Ergänzung berechnet man die binomische Formel rückwärts.
\(y = x^2\pm bx+c\)
\(y=(x\pm\frac b2)^2-(\frac b2)^2+c\)

Beispiele

\(y = x^2+6x+7\)
\(y = (x + 3)^2 - 3^2+7\)
\(y = (x + 3)^2 - 2\)
\(y = x^2-5x-0.75\)
\(y = (x - 2.5)^2 - 2.5^2-0.75\)
\(y = (x - 2.5)^2 - 7\)

Zeichnen

Mit Normalform oder Scheitelform

Falls man die Normalform hat wandelt man sie in die Scheitelform um.
Aus der Scheitelform liest man den Scheitelpunkt ab und zeichnet ihn ein.
Dann zeichnet man die Parabel mit einer Normalparabel-Schablone durch den Scheitelpunkt.

Beispiel

\(y = x^2 - 4x + 5\)
Umwandeln in Scheitelform: \(y = (x-2)^2 -2^2 + 5 = (x-2)^2+1\)
Man trägt den Scheitelpunkt \(S(2|1)\) im Koordinatensystem ein und zeichnet die Parabel mit der Normalparabel-Schablone.

Mit Modellform

Man erstellt eine Wertetabelle zum Zeichnen.

Beispiel

\(y = -0.5x^2+3\)
Man legt sich die x-Wert für den Zeichenbereich selber fest, z.B. von -3 bis 3.
Die x-Werte setzt man dann in die Gleichung ein und berechnet die y-Werte.

x	-3	-2	-1	0	1	2	3
\(y = -0.5x^2+3\)	-1.5	1	2.5	3	2.5	1	-1.5

Jedes x-y-Paar ist jetzt ein Punkt der Parabel, den man in das Koordinatensystem einzeichnet.

Parabelpunkte

Punktprobe

Man prüft rechnerisch ob ein Punkt auf einer Parabel liegt, indem man seine x-Koordinate und die y-Koordinate in die Parabelgleichung einsetzt. Geht die Gleichung auf dann liegt der Punkt auf der Parabel, sonst nicht.

Beispiele

Wir prüfen ob \(P(1|5)\) auf der Parabel \(y=x^2-x+5\) liegt.
\(5 = 1^2-1+5 \Rightarrow\) Die Gleichung geht auf, also liegt P auf der Parabel
Wir prüfen ob \(P(2|5)\) auf der Parabel \(y=x^2+2x-7\) liegt.
\(5 = 3^2+2\cdot 3-7 \Rightarrow\) Die Gleichung geht nicht auf, also liegt P nicht auf der Parabel

Punktkoordinaten berechnen

Ist von einem Punkt eine Koordinate unbekannt, dann setzt man die bekannte Koordinate in die Parabelgleichung für x oder y ein und kann so die unbekannte Koordinate berechnen.

Beispiele

Wir bestimmen die y-Koordinate von \(P(-2|y)\) auf der Parabel \(y=(x-1)^2-4\).
\(y=(-2-1)^2)-4 = 5 \Rightarrow P(-2|5)\)
Wir bestimmen die x-Koordinaten von \(P(x|-2)\) auf der Parabel \(y=x^2-4x+1\).
\(-2=x^2-4x+1 \)
\(0=x^2-4x+3 \) Mit der Mitternachtsformel bekommt man \(x_1=1\) und \(x_2=3\), d.h. es gibt zwei Punkte \(P_1(1|-2)\) und \(P_1(3|-2)\).

Gleichungsbestimmung

Mit dem Scheitelpunkt

Mit dem Scheitelpunkt kann man direkt die Scheitelform aufstellen.

Beispiele

Die Parabel mit dem Scheitelpunkt \(S(-4|3)\) hat die Gleichung \(y=(x+4)^2+3\)
Die Parabel mit dem Scheitelpunkt \(S(5|-2)\) hat die Gleichung \(y=(x-5)^2-2\)

Mit einem Parabelpunkt

Ist von einer Parabelgleichung eine Variable a, b, c, d oder e nicht bekannt, dann setzt man beide Koordinaten x und y eines Punktes auf der Parabel in die Gleichung ein und kann dann so die Variable berechnen.

Beispiele

Der Punkt \(P(2|4)\) liegt auf der Parabel \(y = ax^2-16\) und wir berechnen a.
\(4 = a\cdot 2^2-16\) ergibt \(a=5\) d.h. die Parabel hat die Gleichung \(y = 5x^2-16\)
Der Punkt \(P(-1|4)\) liegt auf der Parabel \(y = x^2-4x+c\) und wir berechnen c.
\(4 = (-1)^2-4\cdot(-1)+c\) ergibt \(c=-1\) d.h. die Parabel hat die Gleichung \(y = x^2-4x-1\)

Mit zwei Parabelpunkten

Man setzt die x-Koordinate und die y-Koordinate von jedem Punkt in die allgemeine Normalform \(y=x^2+bx+c\) ein.
Dann löst man mit dem Additionsverfahren das Gleichungssystem der beiden Gleichungen und bekommt so b und c.

Beispiel

Wir bestimmen die Gleichung der Parabel durch die Punkte \(P(2|6)\) und \(Q(-3|16)\).
Wir setzen P und Q in die allgemeine Normalform \(y=x^2+bx+c\) ein.
\( \begin{array}{rrcl} P:& 6 & = & 4 + 2b + c \\ Q:& 16 & = & 9 - 3b + c \end{array} \)
Löst man das Gleichungssystem mit dem Additionsverfahren, dann erhält man \(b=-1\) und \(c=4\) und die Parabel hat die Gleichung \(y=x^2-x+4\).

Achsenschnittpunkte

Schnittpunkt mit der x-Achse

Man setzt in der Parabelgleichung für y den Wert 0 ein und löst die Gleichung nach x auf.
Dabei verwendet man die Mitternachtsformel falls nötig. Jede Lösung x ergibt einen Schnittpunkt \(S(x|0)\) mit der x-Achse.

Beispiel

Wir berechnen die Schnittpunkte der Parabel \(y=x^2-5x+6\) mit der x-Achse.
In die Parabelgleichung wird für y der Wert 0 eingesetzt: \(0 = x^2-5x+6\)
Mit der Mitternachtsformel bekommt man \(x_1=2\) und \(x_2=3\). Das ergibt die Schnittpunkte \(S_1(2|0)\) und \(S_1(3|0)\) mit der x-Achse

Schnittpunkt mit der y-Achse

Man setzt in der Parabelgleichung für x den Wert 0 ein und bekommt so y.
Das ergibt den Schnittpunkt \(S(0|y)\) mit der y-Achse.

Beispiel

Wir berechnen die Schnittpunkte der Parabel \(y=(x+4)^2-17\) mit der y-Achse.
In die Parabelgleichung wird für x der Wert 0 eingesetzt: \(y =(0+4)^2-17=-1\)
Das ergibt den Schnittpunkt \(S(0|-1)\)

Schnittpunkte

Um Schnittpunkte von Parabeln oder Geraden zu berechnen, setzt man die beiden Gleichungen gleich, so dass eine Gleichung nur mit x und ohne y entsteht.
Dann löst man die Gleichung nach x auf und verwendet dabei die Mitternachtsformel falls nötig.
Es gibt soviel Schnittpunkte wie es Lösungen gibt. Jede Lösung x setzt man in eine der Ausgangsgleichungen ein und erhält so y und einen Schnittpunkt \(S(x|y)\)

Beispiele

Wir berechnen die Schnittpunkte der Parabel \(y=x^2+4x+3\) mit der Gerade \(y=3x+5\)
Gleichsetzen ergibt \(x^2+4x+3=3x+5\) bzw. \(x^2+x -2=0\).
Mit der Mitternachtsformel bekommen wir \(x_1=1\) und \(x_2=-2\).
Durch Einsetzen in die Parabel oder Gerade bekommen wir \(y_1=8\) und \(y_2=-1\) und so die Schnittpunkte \(S_1(1|8)\) und \(S_2=(-2|-1)\).
Wir berechnen die Schnittpunkte der Parabeln \(y=x^2+4x+3\) und \(y=x^2-5\).
Gleichsetzen ergibt \(x^2+4x+3 = x^2-5\) und die Lösung \(x=-2\).
Durch Einsetzen in eine der Parabelgleichungen bekommen wir \(y=-1\) und so den Schnittpunkt \(S(-2|-1)\)

Verschiebung

Man verschiebt eine Parabel \(p_1\) indem man ihren Scheitelpunkt \(S_1\) bestimmt.
Dann bestimmt man den verschobenen Scheitelpunkt \(S_2\) und stellt damit die Scheitelform für die verschoben Parabel \(p_2\) auf.

Beispiel

Wir Verschieben die Parabel \(p_1: y= x^2+4x+1\) um 3 nach rechts und 5 nach oben.
Die Scheitelform ist \(y = (x+2)^2-3\), also haben wir den Scheitelpunkt \(S_1(-2|-3)\)
Der neue Scheitelpunkt ist 3 nach rechts und 5 nach oben verschoben, also \(S_2(1|2)\).
Die Scheitelform der verschobenen Parabel ist also \(p_2:y = (x-1)^2+2\). Die Normalform ist dann \(y = x^2-2x+3\).