Extrempunkte

Extrempunkte einer Funktion sind Punkte, in denen sie ihr Monotonieverhalten ändert, also vorher monoton wächst und danach fällt (Hochpunkt), oder umgekehrt (Tiefpunkt).

Zuerst werden die Lösungen der Gleichung $f'(x)=0$ bestimmt.
Überprüfung der Lösungen

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1. Methode:
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Jede Lösung wird in $f''(x)$ eingesetzt. Ist das Ergebnis positiv, so ist $f'$ steigend und deshalb liegt ein Tiefpunkt vor, ist das Ergebnis negativ, dann ist $f'$ fallend, und somit liegt ein Hochpunkt vor. Ist das Ergebnis Null, wird die 2. Methode angewendet.

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2. Methode:
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Links und rechts von jeder Lösung werden zwei $x$-Werte gewählt, die näher als daneben liegende Lösungen sind, und in $f'(x)$ eingesetzt. Wechselt das Vorzeichen der Ergebnisse von Minus nach Plus, dann liegt ein Tiefpunkt vor, bei einem Wechsel von Plus nach Minus ein Hochpunkt. Haben beide Ergebnisse dasselbe Vorzeichen, so ist an dieser Stelle kein Extrempunkt, es liegt stattdessen ein Sattelpunkt vor.
Zuletzt werden zu allen Extremstellen die $y$-Werte berechnet, indem man die $x$-Werte in $f(x)$ einsetzt.

Beispiele

Wir untersuchen $f(x)=-x^2+4x-1$ auf Extrempunkte.
Es gilt $f'(x)=-2x+4$ und $f''(x)=-2$.
Aus $-2x+4=0$ folgt $x=2$. Mit $f''(2)=-2<0$ und $f(2)=3$ ergibt sich der Hochpunkt $H(2|3)$.
$f(x)=x^4 +4x^3$
Es gilt $f'(x)=4x^3+12x^2$ und $f''(x)=12x^2+24x$.
Aus $4x^3+12x^2=0$ folgt $x=0$ und $x=-3$.
Für $x=0$ wenden wir wegen $f''(0)=0$ die zweite Methode an. Diese ergibt wegen $f'(-1)=8$ und $f'(1)=16$ keinen Extrempunkt.
Für $x=-3$ ergibt sich wegen $f''(-3)=36>0$ und $f(-3)=-27$ der Tiefpunkt $T(-3|-27)$.
$f(x)=-1-e^{-x}$
Die Gleichung $f'(x)=0\Leftrightarrow e^{-x}=0$ hat keine Lösungen, es gibt also keine Extrempunkte.