Abstände

Mit dem Betrag, also der Länge von Vektoren lassen sich alle Arten von Abständen zwischen Punkten, Geraden und Ebenen berechnen.

Punkt - Punkt

Der Abstand zwischen zwei Punkten $P$ und $Q$ ergibt sich aus dem Betrag des Verbindungsvektors:

$|\vec{PQ}|=\sqrt{(q_1-p_1)^2+(q_2-p_2)^2+(q_3-p_3)^2}$

Punkt - Gerade

Man bestimmt die Koordinatengleichung einer Hilfsebene $E$, die den gegebenen Punkt enthält und orthogonal zur Gerade ist. Dazu wird der Richtungsvektor der Gerade als Normalenvektor für $E$ verwendet, und dann der gegebene Punkt $P$ in die linke Seite der Koordinatengleichung eingesetzt. Nun wird der Schnittpunkt $S$ der Gerade mit $E$ berechnet, und schließlich der Abstand der Punkte $P$ und $S$.

Punkt - Ebene

Für den Abstand eines Punkts $P(p_1|p_2|p_3)$ zur Ebene mit der Gleichung $E: ax_1+bx_2+cx_3+d=0$ gilt:

$d(P;E)=\frac{|ap_1+bp_2+cp_3+d|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}$

Windschiefe Geraden

Berechne aus den Geraden
$g: \vec{x}=\vec{p_1}+s \vec{r_1}$ und $h: \vec{x}=\vec{p_2}+t \vec{r_2}$
den Vektor $\vec{n}=\vec{r_1}\bigotimes \vec{r_2}$. Der Abstand der Geraden ergibt sich wie folgt:

$d(g;h)=\frac{|(\vec{p_1}-\vec{p_2})\bullet \vec{n}|}{|\vec{n}|}$

Parallele Geraden

Man wählt z.B. mit dem Stützvektor einen Punkt auf einer Gerade, und bestimmt den Abstand von diesem Punkt zur anderen Gerade.

Parallele Gerade und Ebene

Man wählt z.B. mit dem Stützvektor einen Punkt auf der Gerade, und bestimmt den Abstand von diesem Punkt zur Ebene.

Parallele Ebenen

Man wählt einen Punkt auf einer Ebene. Dazu wählt man für zwei Punktkoordinaten beliebige Werte wie z.B. 0, setzt diese in die Koordinatengleichung der Ebene ein, und bestimmt daraus dann die dritte Punktkoordinate. Dann wird der Abstand von diesem Punkt zur anderen Ebene bestimmt.

Beispiele

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Punkt - Punkt
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Wir bestimmen den Abstand der Punkte $P(1|-2|3)$ und $Q(3|2|1)$. \[d(P;Q)=\sqrt{(3-1)^2+(2+2)^2+(1-3)^2}=\sqrt{24}\].
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Punkt - Gerade
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Gesucht ist der Abstand von $ g: \vec{x}=\left(\begin{array}{r}1\\4\\-2\\\end{array}\right)+t \left(\begin{array}{r}-1\\1\\1\\\end{array}\right)$ zum Punkt $P(2|0|3)$.
Dazu wird eine Hilfsebene $E$ aufgestellt, die zu $g$ orthogonal ist und $P$ enthält. Diese hat den Richtungsvektor von $g$ als Normalenvektor, sie hat also die Gleichung $-x_1+x_2+x_3=d$. Durch Einsetzen von $P$ ergibt sich schließlich
$E: -x_1+x_2+x_3=1$
Als Schnittpunkt von $E$ und $g$ erhält man den Punkt $S(1|4|-2)$. Der gesuchte Abstand ist nun der Abstand von $P$ und $S$: \[d(P;g)=\sqrt{(2-1)^2+(0-4)^2+(3+2)^2}=\sqrt{42}\]
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Punkt - Ebene
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Gesucht ist der Abstand von $E:-2x_1+x_2-3x_3-5=0$ zu $P(1|1|0)$.
\[d(P;E)=\left|\frac{(-2)\cdot 1+ 1-3\cdot 0-5}{\sqrt{14}}\right|=\frac{6}{\sqrt{14}}.\]
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windschiefe Geraden
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Gegeben sind zwei windschiefe Geraden:
$g:\vec{x}=\left(\begin{array}{r}1\\5\\2\\\end{array}\right) +s \left(\begin{array}{r}2\\-1\\-2\\\end{array}\right)$; $h:\vec{x}=\left(\begin{array}{r}5\\9\\1\\\end{array}\right) +t \left(\begin{array}{r}0\\-5\\3\\\end{array}\right)$
Wir bestimmen ihren Abstand.
Das Vektorprodukt $\vec{n}$ der beiden Richtungsvektoren ergibt
$\vec{n}=\left(\begin{array}{r}-13\\-6\\-10\\\end{array}\right)$ mit $|\vec{n}|=\sqrt{305}$.
Weiter gilt $\vec{p_1}-\vec{p_2} =\left(\begin{array}{r}1\\5\\2\\\end{array}\right)-\left(\begin{array}{r}5\\9\\1\\\end{array}\right) =\left(\begin{array}{r}-4\\-4\\1\\\end{array}\right)$
Für den Abstand erhalten wir schließlich
\[\begin{align} d(g;h)&=\frac{|(\vec{p_1}-\vec{p_2})\bullet \vec{n}|}{|\vec{n}|}\\ &=\frac{|(-4)\cdot(-13)+(-4)\cdot(-6)+1\cdot(-10)|}{\sqrt{305}}\\ &=\frac{66}{\sqrt{305}}\\ \end{align} \]